運動量や力積の意味を説明できますか？
また、どんなときに運動量保存則を使うのか、
その「使い所」を説明できますか？
物理を得意としている受験生でも、
意外とこのあたりは盲点になりやすいです。
でも冷静に考えれば、
運動量保存則の使い所を理解していないと、
実際の問題で使いこなすことは難しいです。
あなたが運動量保存則を使いこなせないのは、
運動量保存則の意味を本質的に理解できていないからです。
この記事では運動量や力積の定義、
そして運動量保存則について本質的に解説していきます。
この記事を最後まで読むことで、
運動量保存則がどんな法則なのかがわかり、
実際の入試問題でも自由に使えるようになります。
今までわかった気になっていた部分も、
すっきりと理解できると思います。
ぜひ最後まで読み飛ばさずに読んでみてください。
目次
運動量と力積とは？
「運動量」を一言でいうなら、
物体の運動の激しさを表す量です。
車でイメージすると、
ただスピードが早いだけでなく、
トラックのような重たい車の方が、
ぶつかったときの衝撃がすごそうです。
この衝撃の強さ＝運動の激しさが運動量です。
次に「力積」を一言でいうなら、
運動量を変化させるための量です。
例えば転がっているボールの運動量を増やして、
さらに激しく運動させたいとしましょう。
そんなときには、
ボールを手で押してあげることで、
力積を与えればよいのです。
つまり運動の激しさが運動量で、
運動の激しさを変化させるのが力積なのです。
以下ではこの運動量と力積を、
もう少し詳しく考えていきましょう。
運動量の意味と定義
例えば、ボールがぶつかってくるのを
想像してみましょう。
ボールが重ければ重いほど、
ボールが速ければ速いほど、
ぶつかると痛そうですよね。
このように、
運動量\(p\)は物体の質量\(m\)と速度\(v\)に比例し、
以下のように表されます。
ここで運動量には「向き」があることに
注意しておきましょう。
転がるボールを後ろから押せば、
運動がさらに激しくなりますが、
同じように前から押せば、
ボールは徐々に止まっていきます。
つまりボールは右向きの運動量を持っていたということです。
運動量の定義 \(\vec{p}=m\vec{v}\)
力積の意味と定義
ボールを押して運動量を増やしたいとき
強い力で長い時間押した方が良さそうですね。
よって、力積\(\vec{I}\)は、
力\(\vec{F}\)と力をかける時間\(\Delta t\)に比例し、
以下のように表されます。
しかし、(仮)と書いたように、
この定義は正確ではありません。
なぜかというと、力をかけている間に、
力も刻一刻と変化することがあるからです。
例えば\(t_{A}\)秒から\(t_{B}\)秒までの\(\Delta t = t_{B}-t_{A}\)秒間、
以下のグラフのように力が変化したとしましょう。
最初のうちは小さめな力で、
途中ではかなり大きな力で、
最後はまた小さな力で押しているようです。
これは速度・加速度の記事の方法を思い出せば、
グラフの面積の部分が力積になるとわかります。
つまり力積の定義は以下の通り。
力を時間的に積み重ねたものが、
力積になっているのです。
運動量と力積の関係
最初に説明した通り、
力積は運動量を変化させるためのものです。
これを式にまとめると以下の通り。
これを日本語で読めば、
運動量の変化は力積に等しい
となります。
この関係式は力積の意味をよく表しているので、
先ほどの式ではなくこちらを定義として、
理解しておいてもいいでしょう。
実はこの関係式は、
運動方程式を同値変形して得られるのです。
ただし一応高校範囲を超えるので、
詳しい解説は「応用」として最後に解説します。
運動量保存則
次に「運動量保存則」の解説です。
まずは2つのボールの衝突を考えてみましょう。
2つのボールが衝突をしている瞬間、
「作用反作用の法則」に従って、
お互いに逆向きの力を掛け合っています。
つまり力積の定義を思い出せば、
ボールは逆向き、同じ大きさの力積を与えています。
これに注意して、
2つのボールについて運動量変化を考えると以下。
\begin{align*}
m_{1}v’_{1} – m_{1}v_{1} &= I \\
m_{2}v’_{2} – m_{2}v_{2} &= -I
\end{align*}
この式からIを消去すると、
\begin{align*}
m_{1}v’_{1} – m_{1}v_{1} &= m_{2}v’_{2} – m_{2}v_{2} \\
m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} &= m_{1}v’_{1} + m_{2}v’_{2}
\end{align*}
となって、2つのボールの運動量の合計が、
衝突の前後で変わりません。
これを「運動量保存則」と呼びます。
運動量保存則は、
力学の問題を解いていく中で、
とても重要でとても頻繁に使う法則です。
なぜ運動量保存則が重要か、
について詳しく説明しておきましょう。
なぜ運動量保存則が重要か
結論から言えば以下の2つの理由があります。
理由① 力がわからなくても使える
理由② 運動方程式と同値である
ここまで何度も言ってきたように、
力学の問題は運動方程式がすべてです。
だから原理上は、
運動方程式を使えばどんな問題も解けます。
しかし先ほどの衝突を思い出しましょう。
2つのボールが衝突するとき、
力Fがどんな力かがわかりませんでした。
これでは運動方程式を立てることができません。
そこで使うのが運動量保存則。
運動量保存則は、運動方程式と同値なので、
運動方程式の代わりに使えます。
しかも力を知らなくても使えます。
よって運動量保存則は、
運動方程式がうまく使えない時に、
その代わりに使われる法則なのです。
だからこそとっても重要な法則なんですね。
運動量保存則の注意点
運動量保存則が成り立つのは、
外から力が生じていない場合のみです。
当たり前ですが、
外から力積が加えられれば、
運動量の変化が起こってしまいます。
注目した物体同士以外に、
運動量を変化させる力積がない場合のみ、
運動量保存則が成り立ちます。
応用：運動量保存則の導出
最後に応用として、
運動量保存則の導出をしておきましょう。
興味がない人は飛ばしてしまって構いません。
ただ導出と言っても、
・速度、加速度の意味
・運動方程式の意味
をきちんと理解できていればすぐに求まります。
【合わせてチェック】
・超重要！位置・速度・加速度を理解しよう！【高校物理】
・力学の最重要法則「運動方程式」で未来を予知する
では、1つの物体に対して運動方程式を立てます。
\[ m\frac{dv}{dt} = F \]
そろそろこの加速度の書き方にも慣れたでしょうか。
次にこの両辺をtで積分します。
時刻\(t_{A}\)での速度が\(v\)、時刻\(t_{B}\)での速度が\(v’\)とすると
\begin{align*}
\int_{t_{A}}^{t_{B}}m\frac{dv}{dt}dt &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt \\
\int_{v}^{v’}mdv &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt \\
mv’ – mv &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt
\end{align*}
このようにして、
力積と運動量の関係が得られました。
ここまでくれば２物体の運動量保存則の証明は、
運動量保存則の章の中で書いた通りです。
まとめ
今回出てきた定義、法則をまとめましょう。
運動量 \( \vec{p} = m\vec{v} \)
力積 \( \vec{I} = \int \vec{F}dt \)
法則
運動量と力積 \(mv’ – mv = \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt\)
運動量保存則 \(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v’_{1} + m_{2}v’_{2} \)
まずはこれらをしっかり押さえましょう。
その上でより大事なのは、
運動量保存則の使いどきを理解することです。
運動方程式と同値である運動量保存則は、
生じる力がわかりにくい衝突の問題などで、
運動方程式の代わりに使われるのでしたね。
ぜひ実際の問題で使えるように、
この事実から理解しておきましょう。
