仕事とエネルギーを解説！定義から正しく理解しよう │ 受験メモ

これは「エネルギー保存則」の説明の前に、
エネルギーの解説を行うための記事です。

もうエネルギーの学習が十分であれば、
いきなり保存則を確認してもいいでしょう。

【合わせてチェック】
・今すぐ使える力学的エネルギー保存則！

この記事はエネルギーの解説ですが、
そのためには「仕事」を理解する必要があります。

ということでまずは、
仕事の解説から順番に進めましょう。

1 仕事とは
- 1.1 より正確な仕事の定義
- 1.2 仕事の注意点
2 エネルギーとは
3 まとめ

仕事とは

物理学において「仕事をする」とは、
物体に力を加えて移動させること
を指します。

そして一定の力\(F\)で距離\(x\)だけ動かした場合、
その仕事の量\(W\)は以下のようになります。

仕事　\[W=Fx　(単位はジュール[J])\]

例えば以下のように、
床に置かれた箱を5Nの力で3mだけ、
引っ張ったとしましょう。

この時引っ張る力は、
\(W=5\times3=15[J]\)の仕事をしたことになります。

さらにこの時、
床がとってもザラザラしていて、
箱には摩擦力が3Nかかっていたとしましょう。

すると3m移動する間ずっと、
箱の動きを邪魔する方向へ3Nの力がかかります。

つまり摩擦力は、
\(W=(-3)\times3=-9[J]\)の仕事をしているのです。

このように仕事とは、
物体の運動をどれくらい助けたか、
物体の運動をどれくらい邪魔したか、
というような量になります。

次の章ではもう少し詳しく仕事の定義を見ていきます。

より正確な仕事の定義

さていくつか具体例を見たところで、
もう一度仕事の定義をしっかりと考えてみます。

このサイトで勉強してきて、
運動量と力積の記事を読んだ人なら、
この先の流れが想像できるかもしれません。

先ほどの仕事の定義では、
力がずっと一定である場合を考えてきましたが、
実際は力が一定とは限りません。

力が物体を動かす間に、
例えば以下のように力が変化するかもしれません。

弱い力からぎゅーっと力を強め、
最後は徐々に力を抜いていった感じです。

最初はゆっくりと仕事をして、
一番力を込めた瞬間に最大限の仕事をして、
最後はまたゆっくりと仕事をしています。

つまり加速度や力積同様に、
仕事も図の面積の部分になります。

よってより正確な仕事の定義は以下の通り。

仕事の定義　\[ W=\int Fdx\]

仕事の注意点

仕事は物体の移動をどれだけ助けたか、
物体の移動をどれだけ邪魔したか、
でしたね。

だから、
物体の移動と同じ方向の力しか
仕事をしているとはみなしません。

例えば先ほどの例で、
常に垂直抗力や重力も働いていますが、
これらは移動に関係ないので仕事をしていません。

また紐を引っ張る時に、
真横ではなく、斜めに引っ張ったとしましょう。

このとき加えた力のうち、
移動方向に水平の成分は仕事をしますが、
移動方向に鉛直の成分は仕事をしません。

先ほどは断りなく力\(F\)と書きましたが、
正確には運動の向きに沿った力だったということです。

重いものを持ち上げて運んでいても、物理学的には仕事をしていません。またいくら力を加えても、物体が動かなければ仕事は0です。このように普段使う言葉とは少しずれがあるので、定義を曖昧にせずに理解しておきましょう。

エネルギーとは

仕事を定義することで、
ようやく目的だった「エネルギー」を考えられます。

エネルギーという言葉を聞くと、
ガソリンや電池、体力ややる気
などが頭に思い浮かぶかもしれませんが、
これらは全て物を動かす原動力です。

つまりエネルギーとは、
物体が持っている仕事をする能力
のことです。

高校の力学では主に、
①運動エネルギー
②重力による位置エネルギー
③弾性力による位置エネルギー
が登場します。

次の章から、これらの意味や、
どんな数値をとるのかを考えていきましょう。

①運動エネルギー

速度を持っている物体がぶつかると、
ぶつかった物体を動かせますよね。

つまり速度を持った物体は仕事をする能力があり、
その能力を「運動エネルギー」と呼びます。

では運動エネルギーの大きさを考えていきましょう。

まずは物体\(m\)が速度\(v\)で運動しているとします。

この物体に力Fをかけることで、
無理やり速度を0にしたとしましょう。

これは力Fが物体に仕事をして、
運動エネルギーを打ち消したことになります。

つまり力Fがした仕事Wこそが、
物体の運動エネルギーだということです。

では実際に計算してみます。

今回使う公式や法則は、
・\(W=Fx\)　(力一定より)
・\(ma=F\)
・\(v_{後}^{2}-v_{前}^{2}=2ax\)
です。

まずは運動方程式を考えますが、
力Fは運動の逆向きにかかっていることに注意すると、

\[ ma = -F \]

次に3つ目の公式から、

\[ 0^{2}-v^{2}=2ax　→　ax = -\frac{1}{2}v^{2}\]

以上を使えば、

\begin{align*}
W &= Fx \\
&= -max \\
&= -m × (-\frac{1}{2}v^{2}) \\
&= \frac{1}{2}mv^{2}
\end{align*}

このようにして運動エネルギーが求まりました。

運動エネルギー　\[K=\frac{1}{2}mv^{2}\]

（上級者向け）淡々と定義通り計算しても同じ答えになります。ただし積分の計算が少し大学レベルです。\begin{align*}
W&=\int Fdx=m\int\frac{dv}{dt}dx\\
&=m\int\frac{dx}{dt}dv=m\int vdv\\
&=\frac{1}{2}mv^{2}\end{align*}